谓词逻辑的命题形式

最简单的命题，即所谓原子命题，都可以分析为个体词和谓词两类成分。例如,在“5是素数”、“7大于3”这两个命题中，5、7和 3是个体词，“是素数”、“大于”是谓词。在逻辑中，一个论域中的元素称为个体，个体词是表示个体的符号；表示某个论域中的一个特定个体的符号称为个体常项或个体常元，个体常项也就是它所表示或指称的那个个体的名字；不表示某一确定论域中的特定个体的个体词，称为个体变项或个体变元，用符号x,y,z和x1,y1,z1,…表示；个体变项取任一论域中的任一个体为值。谓词是表示个体的性质和个体之间关系的符号。个体的性质也称一元关系，表示个体的性质即一元关系的称为一元谓词。两个个体之间的关系称为二元关系，n个个体之间的关系称为n元关系。表示二元关系的为二元谓词，表示 n元关系的为 n元谓词。如“是素数”就是一元谓词，“大于”是二元谓词,“在…之间”是三元谓词。表示某一论域中的特定的性质或关系的称为谓词常项或谓词常元,“是素数”等都是谓词常项。不表示某一确定论域中的特定性质或关系的称为谓词变项或谓词变元。谓词变项用符号F,G,H和F1，G1，H1，…表示。谓词变项也分为一元的、二元的、…,n元的，等等。谓词变项的元数可以明晰地标示出来，如F1表示F是一元的，G2表示G是二元的，但也可以不这样做。在一公式中，一个谓词变项后面跟的个体变项的个数,就表示这个谓词变项的元数。例如,F(x)中F是一元的，G(x,y)中G是二元的，H(x1,x2,…,xn)中H是n元的。同一个符号，比如F，在不同的公式中可以表示不同元数，但在一个复杂的公式中，同一符号的几处出现是同一个谓词变项。应用个体变项和谓词变项,“5是素数”、“7大于3”这两个原子命题的形式可分别表示为F(x)和G(x,y)这两个公式。一般地陈述n个个体间有某关系的原子命题的形式，用一个 n元谓词变项后面跟n个个体变项的公式表示,该公式为: F(x1,x2,…,xn)。表示原子命题的形式的公式称为原子公式。 　除了个体词和谓词，组成命题的成分还有量词。量词是命题中表示数量的词，它分为全称量词和存在量词。例如，在“所有阔叶植物是落叶植物”、“有的水生动物是肺呼吸的”这两个命题中的“所有”、“有的”都是量词,其中前者是全称量词,后者为存在量词。在汉语中,“所有”、“一切”、“凡”等表示全称量词,“有的”、“有”、“至少有一”等表示存在量词。全称量词是在符号凬后跟一个个体变项(比如x),表示为(凬x)，读作：“对任一x”，“所有x”。存在量词在符号ヨ后跟一个个体变项（比如x），表示为(ヨx)，读作：“有一x”，“存在一x”。在一个公式前面加上量词，称为量化式,如(凬x)F(x)和(ヨx)F(x)，就分别称为全称量化式和存在量化式。(凬x)F(x)表示“所有x，x是F,即一切事物都是F”；(ヨx)F(x)表示“有一x,x是F,即有一事物是F”。 　从原子公式出发，应用量词和命题联结词塡、∧、∨、→和凮就可以构造出表示各种复杂的命题形式的公式。