为什么说级数绝对收敛,级数必定收敛?
浅显易懂的说明?你想意会一下吗?
好好理解一下书上关于级数的基本概念和判定,不难“意会”
我叙述两种方法,都是书上的,个人认为方法②比较形象。
严格东西如果笼统的说,其实相当于什么都没说。
①
用无穷级数的柯西收敛原理
无穷级数an
如果对任何ε>0,都存在N,使得对任何m>n>N
|an+……+am|<ε成立,级数收敛。反过来也成立。
注意到:|an+……+am|≤|an|+……+|am|
故若级数绝对收敛,那么级数本身也收敛。
②
数列an中总有正、负、零三类
所有正项不变,是0和负数的项都令为0,得到an+
所有负项变为相反数,是正项的的都令为0,得到an-
那么{an+}和{an-}都是正项级数
{|an|}={(an+)+(an-)}
并且由正项级数比较判别法:(an+)<=|an| (an-)<=|an|
{an+}和{an-}都收敛
显然
{an}={(an+)-(an-)}
所以an也是收敛的。
只能帮你这么多啦,不知你是否满意。
我对这个问题的理解就是这个程度了。
也许还有更好更直观的方法,你也想一想。
好好理解一下书上关于级数的基本概念和判定,不难“意会”
我叙述两种方法,都是书上的,个人认为方法②比较形象。
严格东西如果笼统的说,其实相当于什么都没说。
①
用无穷级数的柯西收敛原理
无穷级数an
如果对任何ε>0,都存在N,使得对任何m>n>N
|an+……+am|<ε成立,级数收敛。反过来也成立。
注意到:|an+……+am|≤|an|+……+|am|
故若级数绝对收敛,那么级数本身也收敛。
②
数列an中总有正、负、零三类
所有正项不变,是0和负数的项都令为0,得到an+
所有负项变为相反数,是正项的的都令为0,得到an-
那么{an+}和{an-}都是正项级数
{|an|}={(an+)+(an-)}
并且由正项级数比较判别法:(an+)<=|an| (an-)<=|an|
{an+}和{an-}都收敛
显然
{an}={(an+)-(an-)}
所以an也是收敛的。
只能帮你这么多啦,不知你是否满意。
我对这个问题的理解就是这个程度了。
也许还有更好更直观的方法,你也想一想。
佚名
2024-06-07 12:45:11
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